已知椭圆C的中心在原点,对称轴为坐标轴,左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一点,三角形PF1F2的周长为6
椭圆C的方程为X^2/4+Y^2/3=1.
A(1,1.5)为椭圆C上的定点,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值
人气:180 ℃ 时间:2019-08-20 09:17:57
解答
设E(x1,y1) F(x2,y2).直线EF方程为y=kx+m
由kAE+kAF=0得
4kx1x2+2m(x1+x2)+6=(x1+x2)(2k+3)+4m①
联立直线与椭圆得
x²(4k²+3)+8kmx+4m²-12=0
由韦达定理得x1+x2=-8km/4k²+3 x1x2=4m²-12/4k²+3
代入①得4k²-8k+3=2m(1-2k)②
要使②式成立,只需4k²-8k+3=1-2k=0
解得k=1/2
即直线EF斜率为定值1/2
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