(注意:2^x代表2的x次方)
1.由算式可知,f(x)的定义域为:
2^x-1≠0；
即2^x≠1,即x≠0,所以f(x)的定义域为x≠0.
2.f(x)=[1/(2^x-1)+1/2]*(x^3)；
化简为:f(x)=[(2^x+1)/(2^x-1)]*(x^3)/2;
f(-x)=-{[2^(-x)+1]/[2^(-x)-1]}*(x^3)/2;
由于2^(-x)=1/(2^x);
所以:f(-x)的分子分母同乘以2^x在化间得到:
f(-x)=[(2^x+1)/(2^x-1)]*(x^3)/2=f(x);
所以可以知道f(x)是偶函数.
3.证明:
由于x≠0,所以当x>0时,
要使f(x)>0成立,则要[(2^x+1)/(2^x-1)]*(x^3)/2>0.(1),
(1)分子分母两边同除以(x^3)/2化简得:
则要(2^x+1)/(2^x-1)0;
综上,由于f(x)在定义域内均大于0,
所以f(x)>0.
证毕.