已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
人气:139 ℃ 时间:2019-09-03 09:24:29
解答
1、因为g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在(0,+∞)上是增函数,
所以当x1>0,x2>0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/(x1+x2)+x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
推荐
- 设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2.求证:f(x)>0在R上恒成立.
- 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R内恒成立的是( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x
- 急,谢谢了,.f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,期待xf'(x)-f(x)>0在(0,+∞)内恒成立. (1)
- 已知函数f(x)是在(0,+∞)上妹一点均可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立
- 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R内恒成立的是( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x
- 学习成绩和以前一样,打算更努力地学习以取得更好的成绩英文怎么翻译?
- 要使根号x-2分之3有意义,则x的取值范围是
- 一个挂钟,时针长8厘米,如果从中午12时走到下午3时,时针扫过的钟面面积是多少?
猜你喜欢
- 1、新丰小学去年有女生200人,男生比女生多80人,今年女生人数比去年女生增加20%,而比今年男生人数多30人;今年男生人数比去年减少百分之几?
- 一堆水果有梨、桃、苹果,它们的重量之比为4:5:8,三种水果的平均重量为72千克,苹果重多少千克?
- (mobile phone number )用中文翻译
- 1、某辆汽车油箱中有汽油50L,汽车每行驶100km耗油10L,汽车行驶路程为x,邮箱剩余数量为y,写出y与x之间的关系.
- 分别取1molNa,Na2O,Na2O2,NaOH各加入100g水,分别计算所得溶液,溶质的质量分数.
- 已知方程组{3x+2y+z=6,6x+y-2x=-2,6x+2y+5x=3,与关于x,y,z的方程组{ax+by+2cz=2,2ax-3by+4cz=-1,3ax-3by+
- 省略号和书名号怎么打出来啊?
- BD是三角形ABC的角平分线,DE平行于CB交AB与点E,角A=45度,角BDC=70度,求角DBC角AED 的度数.