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在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点.

(1)求证:平面AD1E∥平面BGF;
(2)求证:平面AEC⊥面AD1E.
人气:303 ℃ 时间:2019-10-29 21:02:33
解答
证明:如图,
(1)∵E,F分别是棱BB1,DD1中点,∴BE∥D1F且BE=D1F,
四边形BED1F为平行四边形,∴D1E∥BF,
又D1E⊂平面AD1E,BF⊄平面AD1E,∴BF∥平面AD1E;
又G是棱DA的中点,∴GF∥AD1
又AD1⊂平面AD1E,GF⊄平面AD1E,∴GF∥平面AD1E;
又BF∩GF=F,
平面AD1E∥平面BGF;
(2)∵AA1=2,AD=1,∴AD1=
5

同理AE=
AB2+BE2
=
2
,D1E=BF=
BD2+DF2
=
3

∴AD12=D1E2+AE2,∴D1E⊥AE;
∵AC⊥BD,AC⊥D1D,∴AC⊥平面BD1,又D1E⊂平面BD1,∴AC⊥D1E,
又AC∩AE=A,AC⊂平面AEC,AE⊂平面AEC.所以D1E⊥平面AEC;
又D1E⊂平面AD1E,∴平面AEC⊥面AD1E.
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