定义域在R上的函数f(x)对于任意的x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(2)=3,当x>0时,f(x)>0.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性和奇偶性;
(2)解不等式:f(|x-5|)-6<f(|2x+3|).
人气:407 ℃ 时间:2019-10-10 03:42:00
解答
(1)令x=y=0,则f(0)=0
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴y=f(x)为奇函数.
任取x
1<x
2,则x
2-x
1>0.f(x
2)-f(x
1)=f(x
2)+f(-x
1)=f(x
2-x
1)
∵x
2-x
1>0∴f(x
2-x
1)>0
∴f(x
2)>f(x
1)
∴y=f(x)在R上增函数
(2)∵f(2)=3
∴6=f(2)+f(2)=f(4)
∴f(|x-5|)-6<f(|2x+3|)
∴f(|x-5|-|2x+3|)<f(4)
∴|x-5|-|2x+3|<4
∴
⇒x≥5或⇒x<−4或⇒−<x<5综上知,
x>−或x<−4.
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