已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b).且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)=-3.
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈N*)上的值域.
人气:456 ℃ 时间:2019-09-18 05:25:30
解答
证明:(1)设x1>x2,则x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,
而f(a+b)=f(a)+f(b),
∴f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)
∴函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(x-x)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0),而令a=b=0可得f(0)=0
∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)是奇函数,
(3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数.
∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1).
同理,f(m)=mf(1).
∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3.
∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n.
因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
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