1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X）F(Y),且F(0)≠0.若存在常_数学解答

1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X）F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得
F(C/2)=0,求证：对于X∈R,有F(X+C)=- F(X).
2.函数F(X)=(AX+B)/(X^2+1）是定义在（-1,1）上的奇函数,F(1/2)=2/5.解不等式F(T-1)+F(T)

人气：174 ℃　时间：2019-10-10 06:45:11

解答

1．
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.
下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在（-1,1）上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-10所以函数在（-1,1）上为增函数.
函数定义域是（-1,1）
所以-1