若满足ax+by=k; (a,b是大于1的正整数）a,b是系数.x,y是变量且是整数.k是正整数.求证：在a,b互质的情况下k才能_数学解答

若满足ax+by=k; (a,b是大于1的正整数）
a,b是系数.x,y是变量且是整数.k是正整数.
求证：
在a,b互质的情况下k才能取得最小正整数1.

人气：193 ℃　时间：2019-12-07 15:38:04

解答

用反证法
假设a,b不互质,k=1
设a=mi,b=ni,i为ab的最大公因数,i为整数且i＞1,m,n互质
mi*x+ni*y=1
mx+ny=1/i
m,n,x,y都是整数,所以mx+ny为整数
1/i为真分数
所以mx+ny≠1/i
矛盾
所以假设错误
所以只有a,b互质时,才可能有k=1