令f(x0,y0)=c,则z=f(x,y)在P0点的等值线方程为f(x,y)=c,两边对x求导,其中y理解为x的函数,用复合函数求导法则得f'x+f'y*dy/dx=0,即等值线在P0点的切线斜率tanθ=dy/dx=-f'x/f'y,因此sinθ=-f'x,cosθ=f'y,所以P0处沿沿等值线的切线方向的方向导数=f'x*cosθ+f'y*sinθ=-f'xf'y+f'xf'y=0