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数学
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设函数f(x)为奇函数,当x∈[-2,0]时,f(x)=
1
3
x
3
+x
2
-2ax(a为实数)
(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值;
(2)求x∈(0,2]时,f(x)的解析式;
(3)若f(x)在[
3
2
,2]上为增函数,求a的取值范围.
人气:202 ℃ 时间:2019-10-02 22:07:43
解答
(1)∵f(x)=
1
3
x
3
+x
2
-2ax,
∴f′(x)=x
2
+2x-2a,
∵f(x)在x=-1处有极值,
∴f′(-1)=1-2-2a=0,
∴a=-
1
2
;
(2)设x∈(0,2],则-x∈[-2,0),
∴f(-x)=-
1
3
x
3
+x
2
+2ax,
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=
1
3
x
3
-x
2
-2ax;
(3)∵f(x)在[
3
2
,2]上为增函数,
∴f′(x)=x
2
+2x-2a≥0在[
3
2
,2]上恒成立,
∴2a≤x
2
+2x在[
3
2
,2]上恒成立,
∴2a≤
9
4
+3,
∴a≤
21
8
.
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