已知斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A
1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA
1⊥AC
1.
(Ⅰ)求证:AC
1⊥平面A
1BC;
(Ⅱ)求CC
1到平面A
1AB的距离;
(Ⅲ)求二面角A-A
1B-C的大小.
人气:493 ℃ 时间:2019-11-01 19:41:26
解答
(I)证明:因为A
1D⊥平面ABC,所以平面AA
1C
1C⊥平面ABC,
又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA
1C
1C,
得BC⊥AC
1,又BA
1⊥AC
1所以AC
1⊥平面A
1BC;(4分)
(II)因为AC
1⊥A
1C,所以四边形AA
1C
1C为菱形,
故AA
1=AC=2,又D为AC中点,知∠A
1AC=60°.
取AA
1中点F,则AA
1⊥平面BCF,从而面A
1AB⊥面BCF,
过C作CH⊥BF于H,则CH⊥面A
1AB,
在Rt△BCF中,
BC=2,CF=,故
CH=,
即CC
1到平面A
1AB的距离为
CH=(9分)
(III)过H作HG⊥A
1B于G,连CG,则CG⊥A
1B,
从而∠CGH为二面角A-A
1B-C的平面角,
在Rt△A
1BC中,A
1C=BC=2,所以
CG=,
在Rt△CGH中,
sin∠CGH==,
故二面角A-A
1B-C的大小为
arcsin.(14分)
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