f(x) |
x |
xf′(x)−f(x) |
x |
则xf′(x)-f(x)>0,
则F′(x)=
xf′(x)−f(x) |
x2 |
f(x) |
x |
(2)由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2,而F(x)=
f(x) |
x |
f(x1) |
x1 |
f(x1+x2) |
x1+x2 |
∴(x1+x2)f(x1)<x1f(x1+x2)(1),同理 (x1+x2)f(x2)<x2f(x1+x2)(2)
(1)+(2)得:(x1+x2)[f(x1)+f(x2)]<(x1+x2)f(x1+x2),而x1+x2>0,
因此 f(x1)+f(x2)<f(x1+x2).
(3)证法1:由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2+…+xn,而F(x)=
f(x) |
x |
即
f(x1) |
x1 |
f(x1+x2+…+xn) |
x1+x2…+xn |
∴(x1+x2+…+xn)f(x1)<x1f(x1+x2+…+xn)
同理 (x1+x2+…+xn)f(x2)<x2f(x1+x2+…+xn),
…,
(x1+x2+…+xn)f(xn)<xnf(x1+x2+…+xn)
以上n个不等式相加得:(x1+x2+…+xn)[f(x1)+f(x2)+…f(xn)]<(x1+x2+…+xn)f(x1+x2+…+xn)
而x1+x2+…+xn>0,f(x1)+f(x2)+…f(xn)<f(x1+x2+…+xn).
证法2:数学归纳法
①当n=2时,由(2)知,不等式成立;
②当n=k(n≥2)时,不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)<f(x1+x2+…+xn)成立,
即f(x1)+f(x2)+…f(xk)<f(x1+x2+…+xk)成立,
则当n=k+1时,f(x1)+f(x2)+…f(xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)
再由(2)的结论,f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)<f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+…+xk+xk+1)
因此不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)<f(x1+x2+…+xn)对任意n≥2的自然数均成立