∵a³+3a²+3a+2=0⇒（a³+1）+（3a²+3a）+1=0⇒（a+1）（a²-a+1）+3a（a+1）+1=0⇒（a+1）（a²-a+1+3a）+1=0
⇒（a+1）³+1=0，
∴（a+1）³=-1，
则（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰=1-1+1=1．
故答案为：1．