由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），
所以

a−b+c＝4 4a+2b+c＝1

，
解得

b＝−a−1 c＝3−2a.

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，
所以△=b²-4ac＞0，
（-a-1）²-4a（3-2a）＞0，即（9a-1）（a-1）＞0，
由于a是正整数，故a≥2，
又因为b+c=-3a+2≤-4，
故b+c的最大值为-4．
故答案为-4．