设A B分别为X2/a2+y2/b2=1的左右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,x=4为有准线
设P为不同于(4.0)右准线任意一点,与直线AP BP与椭圆相交于异于A B的点M N,证明点B在以MN为直径的园内
人气:488 ℃ 时间:2020-05-19 21:00:40
解答
由a=2c,a^2/c=4,得a=2,c=1,b^2=3,椭圆方程3x^2+4y^2-12=0,设M(s,t),过M做ME垂直x轴于E,过M做MD平行PB并交x轴于D,准线与x轴交于Q,DE:BQ=ME:PQ=AE:AQ,DE=1/3AE=1/3(s+2),EB=2-s.只需证角NBM是钝角,即角DMB=角MBP为锐角,即只需证MD^2+MB^2>DB^2,即DE^2+EB^2+2*ME^2>DE^2+EB^2+2*DE*EB,即ME^2>DE*EB,本题得证.
M(s,t)在椭圆上且t0,DE*EB=1/3(4-s^2)=1/9(12-3s^2)=4/9t^2
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