如图,三棱锥P-ABC中,到面PAC⊥ABC,PA=PB=PC=3.若AB=BC=2倍根号三,求AC与平面PBC所成角的大小,请用向量法
人气:114 ℃ 时间:2019-08-19 13:52:07
解答
过点P向AC作垂线,垂足为O,连接OB
∵面PAC⊥ABC
∴PO⊥平面ABC
∵PA=PB=PC=3 AB=BC=2倍根号三
∴OA=OB=OC △ABC为等腰直角三角形
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,则有A(√6,0,0),B(0,√6,0),C(-√6,0,0),P(0,0,√3)
向量AC=(-2√6,0,0)向量PC=(-√6,0,-√3) 向量BC=(-√6,-√6,0)
设平面PBC的法向量为向量m
由向量m*PC=0 m*BC=0得到向量m=(1,-1,-√2)
设AC与平面PBC所成角θ,则sinθ=lcosl=1/2
所以AC与平面PBC所成角为30度.
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