∵f（x）=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3
∴f′（x）=x²+2bx+b+2，
∵f（x）是R上的单调增函数，
∴x²+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b²-b-2≤0，
则b的取值是-1≤b≤2．
故选C．