已知定义在R上的函数
f(x)=是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t
2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
人气:426 ℃ 时间:2019-08-20 14:27:47
解答
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴
f(0)==0,
解得b=1,(1分)
∴
f(x)=,
∴
f(−x)===−f(x)=∴a•2
x+1=a+2
x,即a(2
x-1)=2
x-1对一切实数x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
∴
f(x)==−1,
f(x)在R上是减函数.(4分)
证明:设x
1,x
2∈R且x
1<x
2则
f(x1)−f(x2)=−=-
,
∵x
1<x
2,
∴
2x2>2x1,
1+2x1>0,
1+2x2>0,
∴f(x
1)-f(x
2)>0
即f(x
1)>f(x
2),
∴f(x)在R上是减函数,(8分)
(3)∵不等式f(t-2t
2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t
2)>-f(-k),
∴f(t-2t
2)>f(k),
∵f(x)是R上的减函数,
∴t-2t
2<k(10分)
∴
k>t−2t2=−2(t−)2+对t∈R恒成立,
∴
k>.(12分)
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