证明：连AC，设AC、BD相交于点O；
（1）∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是菱形．