∵sinA＞0，sinB＞0，
∴

sinB

sinA

=3cos(A+B)=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C为钝角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-3tanA

1+4tan2A

=

3

1 tanA +4tanA

≤

3

4

，
当且仅当

1

tanA

=4tanA，即tanA=

1

2

时取等号，
则tanB的最大值为

3

4

．
故答案为：

3

4

．