请教高手线性代数证明题:矩阵A和单位矩阵E合同,求证A的特征值都大于0
人气:240 ℃ 时间:2020-02-03 18:52:36
解答
方法很多,一种做法如下:
A的单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C,使得A=C'C,这里C'表示转置
设A的任一特征值是λ,相应的特征向量是x,则Ax=λx,即C'Cx=λx
两边同时左乘以x',得(Cx)'(Cx)=λ(x'x)
因为x≠0,C可逆,所以Cx≠0,所以(Cx)'(Cx)>0,x'x>0,所以λ>0
由λ的任意性得A的所有特征值都大于0
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