P为椭圆x^2/25+y^2/16=1上任一点,F1,F2为左右焦点,(1)若角F1PF2为60度,求|PF1|*|PF2|的值?
(2)求|PF1|*|PF2|的最值
人气:185 ℃ 时间:2019-10-09 00:15:08
解答
(1)设|PF1|=n,|PF2|=m,则n+m=10
且n²+m²=(n+m)²-2nm=10²-2nm
而|F1F2|=8
由余弦定理有:cos60°=(n²+m²-8²)2nm
1/2=(10²-2nm-8²)/2nm
解得nm=12
所以此时|PF1|*|PF2|=12
(2)椭圆焦半径公式:P到F1的距离为a+ex,P到F2的距离为a-ex,其中e是离心率,x为椭圆上任意一点的横坐标,则x∈[-a,a]
这题中,a=5,b=3,c=4,则e=4/5
由焦半径公式有:|PF1|=a+ex=5+(4/5)x,|PF2|=a-ex=5-(4/5)x
|PF1|*|PF2|=[5+(4/5)x][5-(4/5)x]=(-16/25)x²+25
∵x∈[-5,5]
故最大值是当x=0时,取得25
最小值是x=-5或者x=5时,取得9
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