（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱锥，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）连接DE．AA₁=AB，四边形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C，∵DE⊂平面AB₁D，A₁C⊄平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1−AB1D＝VB1−A1AD，所以

1

3

•

1

2

•

3

2

a•

5

2

a•d＝

1

3

•

1

2

•

3

2

a•a•

a

2

，
解得d＝

5

5

a．（12分）