∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数
∴f（x）=x|x|奇函数
当x≥0时，f（x）=x²为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得
函数f（x）在R上增函数
又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x•|x|=2x•|2x|=f（2x）
故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，
即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立
即x＜2a恒成立
即a+1＜2a
解得a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）