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数学
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已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=log
n+1
(n+2)(n∈N
+
),记J
n
=a
1
•a
2
•a
3
•…•a
n
为数列{a
n
}的前n项积.定义能使J
n
为整数的正整数n为劣数,则在区间(1,2014)内所有的劣数和为( )
A. 2026
B. 2046
C. 1024
D. 1022
人气:161 ℃ 时间:2019-08-17 16:42:42
解答
∵a
n
=log
n+1
(n+2),(n∈N
*
),
∴a
1
•a
2
•a
3
…a
k
=
lg3
lg2
•
lg4
lg3
•…•
lg(k+2)
lgk+1
=log
2
(k+2),
又∵a
1
•a
2
•a
3
…a
k
为整数,
∴k+2必须是2的n次幂(n∈N
*
),即k=2
n
-2;
又k∈[1,2014],∴1≤2
n
-2≤2014,∴取2≤n≤10;
∴在区间(1,2014)内所有的劣数和:
M=(2
2
-2)+(2
3
-2)+(2
4
-2)+…+(2
10
-2)=
2
2
−
2
11
1−2
-2×9=2026.
故选:A.
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