设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．（1）求_数学解答

设函数f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．

人气：443 ℃　时间：2020-03-22 10:59:53

解答

（1）f′（x）=3x²+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x²+2mx=0的两个根分别为x₁=0，x₂=-

∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x₂=-

≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．