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数学
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设数列{a
n
}满足:a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=2
n
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=n
2
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
人气:155 ℃ 时间:2019-08-20 15:26:24
解答
(1)∵a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=2
n
①,
∴n≥2时,a
1
+2a
2
+3a
3
+…+(n-1)a
n-1
=2
n-1
②
①-②得na
n
=2
n-1
,a
n
=
2
n−1
n
(n≥2),在①中令n=1得a
1
=2,
∴a
n
=
2(n=1)
2
n−1
n
(n≥2)
(2)∵b
n
=
2(n=1)
n•
2
n−1
(n≥2)
.
则当n=1时,S
1
=2
∴当n≥2时,S
n
=2+2×2+3×2
2
+…+n×2
n-1
则2S
n
=4+2×2
2
+3×2
3
+…+(n-1)•2
n-1
+n•2
n
相减得S
n
=n•2
n
-(2+2
2
+2
3
+…+2
n-1
)=(n-1)2
n
+2(n≥2)
又S
1
=2,符合S
n
的形式,
∴S
n
=(n-1)•2
n
+2(n∈N
*
)
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