证明：
“必要性”（⇒）
（反证法）
反设|A|≠0，则：A^-1存在．
所以当AB=0时，二边右乘A^-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．
所以|A|=0．
“充分性”（⇐）
设|A|=0，则方程组Ax=0有非零x=（b₁，b₂，…b_n）．
构造矩阵：B＝

b1 0 … 0 b2 0 … 0 … … … … bn 0 … 0

则B≠0，且AB=0．
证毕．