令方程的两根分别是x1、x2.显然有:
ax1^2+bx1+c=0、ax2^2+bx2+c=0.两式相减,得:
a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=0,∴a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2)=0,
∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0.
很明显,x1、x2不一定相等,∴需要:a(x1+x2)+b=0,得:x1+x2=-b/a.
由ax1^2+bx1+c=0、ax2^2+bx2+c=0相加,得:
a(x1^2+x2^2)+b(x1+x2)+2c=0,
∴a[(x1+x2)^2-2x1x2]+b(x1+x2)+2c=0,
∴a[(-b/a)^2-2x1x2]+b(-b/a)+2c=0,
∴b^2/a-2ax1x2-b^2/a+2c=0,∴ax1x2=c,∴x1x2=c/a.
∴若一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2,则:x1+x2=-b/a、x1x2=c/a.