解（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝

1

2

x2+lnx，f′(x)＝x+

1

x

＝

x2+1

x

．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)＝f(e)＝1+

e2

2

，fmin(x)＝f( 1 )＝

1

2

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)−2ax＝(a−

1

2

)x2−2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)＝(2a−1)x−2a+

1

x

＝

(2a−1)x2−2ax+1

x

＝

(x−1)[(2a−1)x−1]

x

．
①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2＝

1

2a−1

．
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝−a−

1

2

≤0⇒a≥−

1

2

．
由此求得a的范围是[−

1

2

，

1

2

]．
综合①②可知，当a∈[−

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．