> 数学 >
设函数f（x）=cosωx（
3
sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若f（x）的周期为π，当-
π
6
≤x≤
π
3
时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=
π
3
，求ω的值．
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解答
（Ⅰ）f(x)＝
3
sin ωxcosωx+cos2ωx=sin(2ωx+
π
6
)+
1
2

∵T=π，ω＞0
∴
2π
2ω
＝π
∴ω=1
当−
π
6
≤x≤
π
3
即 2x+
π
6
∈[ −
π
6
，
5π
6
]时，sin(2x+
π
6
)∈[−
1
2
，1]
∴f(x)∈[0，
3
2
]
∴f（x）的值域为[0，
3
2
]
（Ⅱ）f(x)＝sin(2ωx+
π
6
)+
1
2
的对称轴为x＝
π
3

∴2ω×
π
3
+
π
6
＝kπ+
π
2
，K∈Z
∴ω＝
3K+1
2

∵0＜ω＜2
∴−
1
3
＜K＜1      
k=0，ω＝
1
2
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